Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=g（x）有两解，求实数a的取值范围；
（3）若a＞

5

3

，记h（x）=

1

a

g（x）f（x），试求函数y=h（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）根据绝对值的应用结合x的方程f（x）=g（x）有两解，即可求实数a的取值范围；
（3）求出h（x）=

1

a

g（x）f（x）的表达式，利用二次函数的性质即可求函数y=h（x）在区间[1，2]上的最大值．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=|x|为偶函数；
当a≠0时，f（x）=|x-a|为非奇非偶函数．
（2）由|x-a|=ax，
若a=0，则方程等价为|x|=0，此时x=0，只有一个解，不满足条件．
若a＞0，分别作出函数y=|x-a|与y=ax的图象，
此时只要满足当x≥a时，y=|x-a|=x-a与y=ax有交点即可，
此时满足y=ax的斜率a＜1，即0＜a＜1，
若a＜0，只要满足当x≤a时，y=|x-a|=-x+a与y=ax有交点即可，
此时满足y=ax的斜率a＞-1，即-1＜a＜0，
综上0＜a＜1或-1＜a＜0．
（3）h（x）=

1

a

g（x）f（x）=

1

a

•|x-a|•ax=|x-a|•x=

x2-ax， x≥a -x2+ax， x＜a

=

(x- a 2 )2- a2 4 x≥a -(x- a 2 )2+ a2 4 x＜a

，
当

5

3

＜a＜2时，f（x）在[1，a]上递减，在[a，2]上递增，h（1）-h（2）=3a-5＞0，h（1）＞h（2），
h（x）_max=h（1）=a-1．
当2≤a≤4时，h_max（x）=F（

a

2

）=

a2

4

，
当a＞4时，h_maz（x）=h（2）=-4+2a，
∴h_maz（x）=

a-1， 5 3 ＜a＜2 a2 4 ， 2≤a≤4 2a-4， a＞4

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和函数最值的求解，根据函数的奇偶性的定义以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．