Question

已知函数f（x）=sinx+sin（x+

π

2

），x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的单调递增区间；　　　
（Ⅱ） 若f（α）=

3

4

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的单调性可得到-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，进而可求出x的范围，再结合题中所给x的范围确定答案．
（2）利用同角三角函数的基本关系式以及二倍角公式直接求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx+sin（x+

π

2

）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，
∴-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z．f（x）的单调递增区间[

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]．k∈Z．
（2）．∵f（α）=

3

4

，∴sinx+cosx=

3

4

，
∴2sinxcosx=-

7

16

，sin2α=-

7

16

．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性的应用．二倍角公式的应用，考查基础知识的灵活应用．高考中三角函数的考查一般以基础为主，要强化基础的夯实，属基础题．