Question

已知函数f（x）=log_a

x-1

x+1

（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（3）令g（x）=1+log_ax，当[m，n]?（1，+∞）（m＜n）时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求函数的定义域，（2）然后利用定义法求证函数的单调性，（3）利用函数的单调性和函数的值域得方程，利用对数的性质解方程即可得实数a的取值范围．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）由题意得

x-1

x+1

＞0，其定义域是（-∞，-1）∪（1，+∞）----------------（2分）
（2）当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数；----------------（4分）
证明：在（1，+∞）上任取x₁，x₂，设x₁＜x₂，

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

因为1＜x₁＜x₂，x₁-x₂＜0

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
即 

x1-1

x1+1

＜

x2-1

x2+1

----------------（6分）
当0＜a＜1时，loga

x1-1

x1+1

＞loga

x2-1

x2+1

，
即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当a＞1时，loga

x1-1

x1+1

＜loga

x2-1

x2+1

，
即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是增函数；-----------（9分）
（3）由已知得g（n）＜g（m），故0＜a＜1，f（x）在（1，+∞）上是减函数；

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

，由loga

x-1

x+1

=1+logax-----------（11分）
得

x-1

x+1

=ax，即ax²+（a-1）x+1=0的两根均大于1
即 

△＞0 f(1)＞0 1-a 2a ＞1

，解得0＜a＜3-2

2

-----------（14分）

点评：本题考查函数的定义域值域和单调性，属于函数性质的综合应用，属于中档题目，应熟练掌握函数的性质，函数为高考中的热点．