Question

已知函数f（x）=

1

4

x²+ax+

a

2

，
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥

7

4

；
（2）若函数f（x）在（-∞，-4）上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）当|x|≤2，记函数f（x）的最小值为g（a），求出g（a）的解析式，并求出关于a的方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1在（-1，1）上有两个不等的实数根时，实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，不等式f（x）≥

7

4

可化为

1

4

x²+x+

1

2

≥

7

4

，从而解得；
（2）由函数f（x）在（-∞，-4）上是减函数可知对称轴在-4的右侧，从而解得；
（3）讨论对称轴的位置，从而求f（x）的最小值为g（a），g（x）=

5 2 a+1，a≤-1 -a2+ a 2 ，-1＜a＜1 - 3 2 a+1，a≥1

方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1可化为-a²+

a

2

=a²-

3a

2

+2m-1，即m=-a²+a+

1

2

=-（a-

1

2

）²+

3

4

，从而求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥

7

4

可化为

1

4

x²+x+

1

2

≥

7

4

，
解得，x≥1或x≤-5；
（2）∵函数f（x）在（-∞，-4）上是减函数，
∴-

a

2× 1 4

≥-4，
解得，a≤2；
（3）①当-

a

2× 1 4

≤-2，即a≥1时，
f（x）在[-2，2]上单调递增，
故g（a）=f（-2）=1-2a+

a

2

=-

3

2

a+1；
②当-

a

2× 1 4

≥2，即a≤-1时，
f（x）在[-2，2]上单调递减，
故g（a）=f（2）=1+2a+

a

2

=

5

2

a+1；
③当-2＜-

a

2× 1 4

＜2，即-1＜a＜1时，
g（a）=f（-2a）=-a²+

a

2

；
故g（x）=

5 2 a+1，a≤-1 -a2+ a 2 ，-1＜a＜1 - 3 2 a+1，a≥1

方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1可化为
-a²+

a

2

=a²-

3a

2

+2m-1，
即m=-a²+a+

1

2

=-（a-

1

2

）²+

3

4

，
∵-1＜a＜1，
∴-

3

2

＜m≤

3

4

．

点评：本题考查了二次函数与二次方程及分段函数的应用，属于中档题．