Question

如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形（点A′∉平面ABC），则下列命题中正确的是

 

．
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-FED的体积有最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：由面A′FG⊥面ABC，可知点A′在面ABC 上的射影在线段AF 上；由已知可得四边形ABCD 是菱形，从而面A′FG⊥面ABC；当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′-DEF 的体积达到最大．

解答： 解：在①中，由面A′FG⊥面ABC，
可知点A′在面ABC 上的射影在线段AF 上，∴①正确；
在②中，由已知可得四边形ABCD 是菱形，
则DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，∴②正确；
在③中，∵BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，
当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′-DEF 的体积达到最大，
最大值为

1

3

×

1

4

×

3

4

a2×

3

4

a=

1

64

a3，∴③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．