Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=

2

(n+1)bn

(n∈N*)，试求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明不等式

1

2

≤T_n＜1成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，由此能求出数列{a_n}的通项公式；b₁=a₁=2，设公差为d，由b₁，b₃，b₉成等比数列，解得d=0（舍）或d=2，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和，并能证明

1

2

≤T_n＜1．

解答： （本题满分13分）
解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
又a1=S1=22-2=2，满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n，
b₁=a₁=2，设公差为d，
则由b₁，b₃，b₉成等比数列，
得（2+2d）²=2（2+8d），解得d=0（舍）或d=2，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=2n．…．（6分）
（Ⅱ）c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1..…．（11分）
又∵T_n+1-T_n=

1

(n+1)(n+2)

＞0，
∴Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

，
∴

1

2

≤T_n＜1．…．（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．