Question

椭圆mx²+ny²=1与直线x+y=1相交于A、B两点，C为AB中点，若|AB|=2

2

，O为坐标原点，OC的斜率为

2

2

，求m，n的值．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点差法得m（x₁+x₂）（x₁-x₂）+n（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，设C（x₀，y₀），得n=

2

m，椭圆mx²+

2

my²=1，联立

mx2+ 2 my2=1 y=-x+3

，得(

2

+1)mx2-6

2

mx+9

2

m-1=0，由椭圆弦长公式能求出m，n的值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将A，B点坐标代入方程得：
mx₁²+ny₁²=1，
mx₂²+ny₂²=1，
两式相减得：
m（x₁+x₂）（x₁-x₂）+n（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
设C（x₀，y₀），

x1+x2=2x0 y1+y2=2y0

，
mx₀+ny₀•

y1-y2

x1-x2

=0，
mx₀+ny₀k_OC=0，
m=-

ny0

x0

•kOC=-n×

2

2

×（-1）=

2

2

n，即n=

2

m，
∴椭圆mx²+

2

my²=1
联立

mx2+ 2 my2=1 y=-x+3

，得(

2

+1)mx2-6

2

mx+9

2

m-1=0，
x₁+x₂=

6 2

2 +1

，x₁x₂=

9 2 m-1

2 +1

，
2

2

=|AB|=

2

•

( 6 2 2 +1 )2-4× 9 2 m-1 2 +1

，
解得m=

1

3

，n=

2

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆弦长公式的合理运用．