题目内容
1．设直线l的方程是x+my+2$\sqrt{3}$=0，圆O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
（2）r=5时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围；
（3）当r=1时，设圆O与x轴相交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，直线PM交直线l′：x=3于点P′，直线QM交直线l′于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．
分析 （1）只需直线所过的定点在圆内，即可使得m取一切值时，直线与圆都有公共点；
（2）显然定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，直线过圆心时，弦长为直径最大．
（3）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．
解答 解：（1）直线l过定点（-2$\sqrt{3}$，0），当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点（-2$\sqrt{3}$，0）在圆O内或在圆O上，
所以12+0≤r2，解得r≥2$\sqrt{3}$．
所以r的取值范围是[2$\sqrt{3}$，+∞）；
（2）设坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）的点为点A，则|OA|=2$\sqrt{3}$．
则当直线l与OA垂直时，由垂径定理得直线l被圆O截得的弦长为l=2$\sqrt{25-12}$=2$\sqrt{13}$；
当直线过圆心时，弦长最大，即x轴被圆O截得的弦长为2r=10；
所以直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[2$\sqrt{13}$，10]．
（3）证明：对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l方程为x=3，设M（s，t），
则直线PM方程为y=$\frac{t}{s+1}$（x+1）．
令x=3，得P'（3，$\frac{4t}{s+1}$），
同理可得：Q'（3，$\frac{2t}{s-1}$）．
所以圆C的圆心C的坐标为（3，$\frac{3st-t}{{s}^{2}-1}$），半径长为|$\frac{st-3t}{{s}^{2}-1}$|，
又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为（3，$\frac{1-3s}{t}$），半径长|$\frac{3-s}{t}$|．
所以圆C的方程为（x-3）2+（y-$\frac{1-3s}{t}$）2=（$\frac{3-s}{t}$）2，
又s2+t2=1，
故圆C的方程为（x-3）2+y2-$\frac{2（1-3s）y}{t}$-8=0，
令y=0，则（x-3）2=8，
所以圆C经过定点，y=0，则x=3±2$\sqrt{2}$，
所以圆C经过定点且定点坐标为（3±2$\sqrt{2}$，0）．
点评 本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，主要考查圆的方程的求法，同时考查圆恒过定点的求法，注意转化为圆系方程是解答本题的关键．
| A． | 9 | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 4 | D． | $\frac{5}{2}$ |