Question

12．等比数列{a_n}中，已知a₁=1，a₄=8，若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第4项和第16项．
（1）求数列{a_n}﹑{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的通项公式，代入即可求得公比q，由b₄=4，b₁₆=16，根据等差数列性质即可求得公差d，即可求得数列{a_n}﹑{b_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：c_n=a_n•b_n=n•2^n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：设等比数列{a_n}公比为q，
∴a₄=a₁•q³=8，即q³=8，即q=2，
∴a_n=a₁•q^n-1=2^n-1，
∴a₃=4，a₅=16，
∴b₄=4，b₁₆=16，
由等差数列公差为d，
∴d=$\frac{{b}_{16}-{b}_{4}}{16-4}$=$\frac{16-4}{16-4}$=1，
∴b_n=b₁₆+（n-16）×1=n，
数列{a_n}通项公式a_n=2^n-1，{b_n}的通项公式b_n=n；
（2）c_n=a_n•b_n=n•2^n-1，
数列{c_n}的前n项和S_n．
∴S_n=1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ，
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
=（1-n）•2ⁿ-1，
S_n=（n-1）•2ⁿ+1，
数列{c_n}的前n项和S_n，S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用，属于中档题，．