Question

4．已知函数f（x）=x²-4x-4，
（1）若 x∈[0，5]时，求f（x）的值域；
（2）若x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，求出函数的最值，从而求出函数的值域即可；
（2）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为-8，过点（0，-4），通过数形结合得出分段函数，再作出其图象即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
对称轴x=2，开口向上，
f（x）在[0，2）递减，在（2，5]递增，
∴f（x）的最小值是f（2）=-8，
f（x）的最大值是f（5）=1，
故答案为：[-8，1]．
（2）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为-8，过点（0，-4），
结合二次函数的图象可知：
当t+1＜2，即t＜1时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R），
在x=t+1处取最小值f（t+1）=t²-2t-7，
当 $\left\{\begin{array}{l}{t+1≥2}\\{t≤2}\end{array}\right.$，即1≤t≤2时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2处取最小值-8，
当t＞2时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t处取最小值f（t）=t²-4t-4，
即最小值为g（t），由以上分析可得，
g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-7，t∈（-∞，1）}\\{-8，t∈[1，2]}\\{{t}^{2}-4t-4，t∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，
作图象如下：
．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．