Question

18．设函数f（x）=9^x+m•3^x，若存在实数x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则实数m的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 构造函数t=3^x0+3^-x₀，t≥2，则m=-t+$\frac{2}{t}$（t≥2），利用其单调性可求得m的最大值，从而可得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（-x₀）=-f（x₀），
∴${9}^{{-x}_{0}}$+m•${3}^{{-x}_{0}}$=-${9}^{{x}_{0}}$-m•${3}^{{x}_{0}}$，
∴m=-（${3}^{{x}_{0}}$+${3}^{{-x}_{0}}$）+$\frac{2}{{3}^{{x}_{0}}{+3}^{{-x}_{0}}}$，
令t=${3}^{{x}_{0}}$+${3}^{{-x}_{0}}$，则t≥2，
故m=-t+$\frac{2}{t}$，（t≥2），
函数y=-t与函数y=$\frac{2}{t}$在[2，+∞）上均为单调递减函数，
∴m=-t+$\frac{2}{t}$（t≥2）在[2，+∞）上单调递减，
∴当t=2时，m=-t+$\frac{2}{t}$（t≥2）取得最大值-1，即m≤-1，
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题考查指数型复合函数的性质及应用，求得分离出参数m是关键，也是难点，考查构造函数思想，考查双钩函数的性质与综合运算能力．