Question

5．已知函数f（x）=e^x-e^-x，若f（2a-3）+f（a²）≤0，则a的取值范围是（　　）

• A． [-3，1]
• B． [-1，3]
• C． [1，3]
• D． （-∞，-3]∪[1，+∞]

Answer 1

分析 根据题意，分析可得f（x）=e^x-e^-x为奇函数且在R上为增函数，进而可以将f（2a-3）+f（a²）≤0转化为2a-3≤-a²即a²+2a-3≤0，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=e^x-e^-x，其定义域为R，且f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
函数f（x）为奇函数，
又由f′（x）=e^x+e^-x，则f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）=e^x-e^-x在R上为增函数，
则f（2a-3）+f（a²）≤0⇒f（2a-3）≤-f（a²）⇒f（2a-3）≤f（-a²）⇒2a-3≤-a²⇒a²+2a-3≤0，
解可得：-3≤a≤1，
即a的取值范围是[-3，1]；
故选：A．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性、单调性．