Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0），且AC、BC所在直线的斜率之积等于-2，记顶点C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设直线y=2x+m（m∈R且m≠0）与曲线E相交于P、Q两点，点M（$\frac{1}{2}$，1），求△MPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设C（x，y），由题意，可得$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=-2（x≠±1），由此能求出曲线E的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得6x²+4mx+m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△MPQ面积的取值范围．

解答 解：（1）设C（x，y），由题意，可得$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=-2（x≠±1），
∴曲线E的方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±1）．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得6x²+4mx+m²-2=0，
∵△=48-8m²＞0，∴m²＜6，
∵x≠±1，∴m≠±2，
又∵m≠0，∴0＜m²＜6，且m²≠4，
∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-2}{6}$，
∴|PQ|=$\sqrt{5}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}•\sqrt{（-\frac{2m}{3}）^{2}-4×\frac{{m}^{2}-2}{6}}$
=$\frac{\sqrt{10}}{3}$•$\sqrt{{m}^{2}（6-{m}^{2}）}$．
点M（$\frac{1}{2}$，1）到PQ的距离d=$\frac{|1-1+m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}|m|$，
∵0＜m²＜6，m²≠4，
∴${{S}_{△MPQ}}^{2}$=（$\frac{1}{2}×|PQ|×d$）²=$\frac{1}{18}{m}^{4}（6-{m}^{2}）$=$\frac{1}{36}$m²•m²（12-2m²）
≤$\frac{1}{36}$•（$\frac{{m}^{2}+{m}^{2}+12-2{m}^{2}}{3}$）³=$\frac{1}{36}×64$=$\frac{16}{9}$，
当且仅当m²=12-2m²时，取等号，又m²≠4，
∴${{S}_{△MPQ}}^{2}$∈（0，$\frac{16}{9}$）．
∴△MPQ面积的取值范围是（0，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查三角形取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．