题目内容
定义在R上的函数（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是（ ）
| A、若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的函数，则y=f（x）至少有1个零点 | ||
| B、函数f（x）=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1 | ||
| C、函数f（x）=e-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1） | ||
D、若函数f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=
|
考点：函数的值
专题：新定义,函数的性质及应用
分析：根据题意，利用“倍增函数”的定义f（x+λ）=λf（x），对题目中的选项进行分析判断，即可得出正确的答案．
解答：
解：对于A，∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，若f（0）、f（-2）任意一个为0，则函数f（x）有零点；
若f（0）、f（-2）均不为0，则f（0）、f（-2）异号，由零点存在性定理得，
在区间（-2，0）内存在x0，使得f（x0）=0，即y=f（x）至少存在1个零点，
∴A正确；
对于B，∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=
≠1，
∴B错误；
对于C，∵f（x）=e-x是倍增函数，∴e-（x+λ）=λe-x，
∴
=
，∴λ=
∈（0，1），
∴C正确；
对于D，∵f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin2ωx，∴ω=
（k∈N*），
∴D正确．
故选：B．
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，若f（0）、f（-2）任意一个为0，则函数f（x）有零点；
若f（0）、f（-2）均不为0，则f（0）、f（-2）异号，由零点存在性定理得，
在区间（-2，0）内存在x0，使得f（x0）=0，即y=f（x）至少存在1个零点，
∴A正确；
对于B，∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=
| 2x+1 |
| 2x-1 |
∴B错误；
对于C，∵f（x）=e-x是倍增函数，∴e-（x+λ）=λe-x，
∴
| 1 |
| exeλ |
| λ |
| ex |
| 1 |
| eλ |
∴C正确；
对于D，∵f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin2ωx，∴ω=
| kπ |
| 2 |
∴D正确．
故选：B．
点评：本题考查了新定义的函数的性质与应用的问题，解题时应理解新定义的内容是什么，是综合性题目．
练习册系列答案
智慧小复习系列答案
相关题目
下列函数中能用二分法求零点是（ ）
| A、f（x）=x2 |
| B、f（x）=x-1 |
| C、f（x）=|x| |
| D、f（x）=x3 |
已知角α为三角形的一个内角，且满足sinαtanα＜0，则角α是（ ）
| A、第一象限角 |
| B、第二象限角 |
| C、第三象限角 |
| D、第四象限角 |
某同学有相同的名信片2张，同样的小饰品3件，从中取出4样送给4位朋友，每位朋友1样，则不同的赠送方法共有（ ）
| A、4种 | B、10种 |
| C、18种 | D、20种 |
下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增的函数是（ ）
| A、f（x）=x2 | ||
| B、f（x）=2|x| | ||
C、f(x)=log2
| ||
| D、f（x）=sinx |
若角420°的终边上有一点（-4，a），则a的值是（ ）
A、4
| ||
B、-4
| ||
C、±4
| ||
D、
|