Question

定义“正对数”：ln⁺x=

0，(0＜x＜1) lnx，(x≥1)

，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，则ln⁺（

a

b

）=ln⁺a-ln⁺b；
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2；
其中的真命题有

 

 （写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：对数的运算性质,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用对数的运算法则、新定义“正对数”即可得出．

解答： 解：①若1＞a＞0，b＞0，a^b∈（0，1），ln⁺a=0，则ln⁺（a^b）=b•0=bln⁺a，同理对于a≥1，b＞0；1＞b＞0，a＞0；b≥1，a＞0，也成立；
②若1＞a＞0，b＞1，1＞ab＞0，可得：ln⁺（ab）=0，ln⁺a+ln⁺b=0+lnb，不成立；
③若a＞0，b＞0，b＞1＞a，则ln⁺（

a

b

）=0，ln⁺a-ln⁺b=0-lnb≠0，不成立；
④若a＞0，b＞0，1＞a+b＞0，则ln⁺（a+b）=0，ln⁺a+ln⁺b+ln2=ln2，此时成立，同理对于其它情况也成立．
综上可得：只有①④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查了对数的运算法则、新定义“正对数”，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．