Question

设f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x）…f_n+1（x）=f_n′（x），x∈N^*  则f₂₀₁₅（

π

3

）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，即可得到结论．

解答： 解：由题意f₀（x）=sinx，
f₁（x）=f₀′（x）=cosx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f₂₀₁₅（x）=f₃（x）=-cosx
∴f₂₀₁₅（

π

3

）=-cos

π

3

=-

1

2

故答案为：-

1

2

点评：本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．