Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，F（x）=f（x）-g（x）
（1）若a=2，x∈[0，3]，求F（x）值域；
（2）若a＞2，解关于x的不等式F（x）≥0．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=2代入F（x），然后分类讨论去绝对值号，分段求值．
（2）先得到不等式，然后分x≥1和x＜1两类讨论解不等式．

解答： 解：∵f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
∴F（x）=f（x）-g（x）=x²-1-a|x-1|，
（1）若a=2，F（x）=x²-1-2|x-1|，x∈[0，3]，
则当x∈[0，1），即x-1＜0时，F（x）=x²-1-2（1-x）=x²+2x-3为二次函数，在[0，1]上单调递增，F（x）∈[-3，0），
当x∈[1，3]即x-1≥0时，F（x）=x²-1-2（x-1）=x²-2x+1为二次函数，在[1，3]上单调递增，F（x）∈[0，4]，
综上，x∈[0，3]，F（x）值域为[-3，0）∪[0，4]=[-3，4]
（2）F（x）=x²-1-a|x-1|，
当a＞2时，F（x）≥0得不等立式x²-1-a|x-1|≥0，
当x=1时，F（x）=0，不等式成立，
当x＞1时，F（x）≥0即为x²-1-a（x-1）≥0
   化简得（x-1）（x+1-a）≥0，
     则x≥a-1
又∵a＞2，
∴a-1＞1，
∴x≥a-1；
当x＜1时，F（x）≥0即为x²-1+a（x-1）≥0，
    化简得（x-1）（x+1+a）≥0，
    则x≤-a-1
又∵a＞2，
∴-a-1＜-3
∴x≤-a-1，
综上，若a＞2，关于x的不等式F（x）≥0的解集为{x|x≥a-1，x=1或x≤-a-1}．

点评：解题的关键在两点，一是去绝对值号，二是对参数a的理解．