Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ADC=90°，且CD=2，AD=

2

，AB=PD=1，E在线段PC上移动，且

PE

=λ

PC

．
（1）当λ=

1

3

时，证明：直线PA∥平面EBD；
（2）是否存在λ，使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）首先利用边的关系求出，AC和BD的长，进一步利用△AOB∽△COD，得出

PE

EC

=

(    )

(    )

AO

CO

=

1

2

，最后得出直线PA∥平面EBD
（2）建立空间直角坐标系：先假设存在实数λ，使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角，则：根据PD⊥平面∴P（0，0，1），B（

2

，1，0），C（0，2，0），设面PBC的法向量为：

n1

=（x，y，z）
则：

PB

=(

2

，1，-1)，

PC

=(0，2，-1)，

PB • n1 =0 PC • n1 =0

，解得：

n1

=(

2

2

，1，2)，利用

PE

=λ

PC

．进一步求得：E（2λ，0，1-λ）

EB

=(2λ-

2

，-1，1-λ)，

DE

=(2λ，0，1-λ)，进一步设：面EBD的法向量为：

n2

=(m，n，p)，

EB • n2 =0 DE • n2 =0

，解得

n2

=(1，

2

，

2λ

λ-1

)，所以利用

n1

•

n2

=0，解得：λ=

12 2 -9

23

，得出存在实数．

解答： （1）证明：连结：AC，BD
在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠ADC=90°，且CD=2，AD=

2

，AB=PD=1，
所以：利用勾股定理解得：
AC=

6

   BD=

3

∵AB∥CD
△AOB∽△COD

AO

CO

=

1

2

E在线段PC上移动，且

PE

=

1

3

PC

．
∴

PE

EC

=

(    )

(    )

AO

CO

=

1

2

EO∥PA
PA?平面EBD，EO?平面EBD
直线PA∥平面EBD
（2）结论：存在实数λ=

12 2 -9

23

，使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角．
解：假设存在λ，使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角
建立空间直角坐标系D=xyz
则：根据PD⊥平面ABCD，∠ADC=90°，且CD=2，AD=

2

，AB=PD=1，
∴P（0，0，1），B（

2

，1，0），C（0，2，0）
设面PBC的法向量为：

n1

=（x，y，z）
则：

PB

=(

2

，1，-1)，

PC

=(0，2，-1)

PB • n1 =0 PC • n1 =0

解得：

n1

=(

2

2

，1，2)

PE

=λ

PC

．
进一步求得：E（2λ，0，1-λ）

EB

=(2λ-

2

，-1，1-λ)，

DE

=(2λ，0，1-λ)
设：面EBD的法向量为：

n2

=(m，n，p)

EB • n2 =0 DE • n2 =0

解得：

n2

=(1，

2

，

2λ

λ-1

)
所以

n1

•

n2

=0
解得：λ=

12 2 -9

23

故存在实数λ=

12 2 -9

23

，使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角．

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，三角形相似的应用，面面垂直的性质定理，存在性问题的应用，法向量的应用及相关的运算问题．