题目内容
已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧
上的一点．
（1）若∠AOP=30°，求
•
的值．
（2）若
=λ
+μ
，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．
 |
| AB |
（1）若∠AOP=30°，求
| OP |
| AB |
（2）若
| OP |
| OA |
| OB |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算
专题：解三角形
分析：（1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；
（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．
（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．
解答：
解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，
∴∠BOP=∠AOB-∠AOP=120°-30°=90°，
∴
•
=0，
则
•
=
•（
-
）=
•
-
•
=-cos30°=-
；
（2）①由余弦定理，知
=cos60°=
，
整理得：
=
，即λ2+μ2=1+λμ，
则λ，μ满足的条件为
；
②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），
由λ2+μ2=1+λμ≤1+
，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），
则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．
∴∠BOP=∠AOB-∠AOP=120°-30°=90°，
∴
| OP |
| OB |
则
| OP |
| AB |
| OP |
| OB |
| OA |
| OP |
| OB |
| OP |
| OA |
| ||
| 2 |
（2）①由余弦定理，知
|λ
| ||||||
2|λ
|
| 1 |
| 2 |
整理得：
| λ2+μ2-1 |
| 2λμ |
| 1 |
| 2 |
则λ，μ满足的条件为
|
②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），
由λ2+μ2=1+λμ≤1+
| λ2+μ2 |
| 2 |
则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．
点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ是（ ）
| A、第一象限角 |
| B、第二象限角 |
| C、第三象限角 |
| D、第四象限角 |
设集合A={y|y=
，x∈R}，集合B={y|1≤y＜4}，则A∩（∁RB）（ ）
| x-1 |
| A、（0，1）∪[4，+∞） |
| B、[4，+∞） |
| C、（4，+∞） |
| D、∅ |
