Question

已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，解析式为f（x）=

2x+3

x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（0，+∞）上为减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由函数的奇偶性解函数的解析式，步骤是固定的；
（Ⅱ）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．

解答： 解：（I）设x＜0，则-x＞0，∴f(-x)=

-2x+3

-x+1

…（2分）
又∵f（x）是R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)=

-2x+3

-x+1

，
∴f(x)=

-2x+3

x-1

…（4分）
又∵奇函数在0点有意义，
∴f（0）=0…（5分）
∴函数的解析式为f（x）=

-2x+3 x-1 ，x＜0 0，x=0 2x+3 x+1 ，x＞0

…（7分）
（II）设?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂…（8分）
则f(x1)-f(x2)=

2x1+3

x1+1

-

2x2+3

x2+1

= (2x1+3)(x2+1)-(2x2+3)(x1+1) (x1+1)(x2+1) = -x1+x2 (x1+1)(x2+1)

…（9分）
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0…（12分）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（14分）

点评：本题考查了借助函数的奇偶性求解函数的解析式及函数单调性的证明，属于基础题．