Question

定义在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，且f（-1）=0．
（1）求f（1）的值；
（2）求满足f（x）＞0的x的集合；
（3）若g（x）=

2

cos（x+

π

4

），x∈[0，2π），求使f（g（x））＞0成立的x的集合．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性，单调性转化为不等式来解决．
（2）分类讨论，转化不等式组．
（3）利用换元的方法转化为

2

cos（x+

π

4

）＜-1或0＜

2

cos（x+

π

4

）＜1，再求解．

解答： 解：（1）∵定义在非零实数集上的奇函数f（x），且f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），即f（1）=-f（-1）=0
（2）∵奇函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，∴奇函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∵f（x）＞0，∴

f(x)＞f(1) x＞0

或

f(x)＞f(-1) x＜0

 即0＜x＜1或x＜-1，
∴f（x）＞0解集为（0，1）∪（-∞，-1），
（3）g（x）=

2

cos（x+

π

4

），x∈[0，2π），使f（g（x））＞0成立，
  只需

2

cos（x+

π

4

）＜-1，或0＜

2

cos（x+

π

4

）＜1
 即

π

2

＜x＜

3π

2

，或0＜x＜

π

4

或

5π

4

＜x＜

3π

2

  f（g（x））＞0成立的x的集合为：（

π

2

，

3π

2

）∪（0，

π

4

）∪（

5π

4

，

3π

2

）

点评：本题综合考查了函数的性质，结合三角函数，不等式解决．