Question

已知f（x）=|sinx|+|cosx|，试根据下列要求研究函数f（x）的性质：
（1）证明：函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）是周期函数，并求出它的一个周期；
（3）写出函数f（x）的单调区间（不必证明），并求函数f（x）的最值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数奇偶的定义即可证明：函数f（x）是偶函数；
（2）根据函数周期性的定义即可证明函数f（x）是周期函数，并求出它的一个周期；
（3）求出函数的表达式，即可求出函数的单调区间和函数的最值．

解答： 解：（1）f（-x）=|cos（-x）|+|sin（-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）∵f（x+

π

2

）=|sin（x+

π

2

）|+|cos（x+

π

2

）=|cosx|+|sinx|，
∴此时

π

2

是函数的一个周期．
（3）f（x）=

sin?x+cos?x，0≤x≤ π 2 sin?x-cos?x， π 2 ＜x≤π -sin?x-cos?x，π＜x≤ 3π 2 cos?x-sin?x， 3π 2 ＜x≤2π

，
作出函数f（x）的图象可知：
函数的单调递增区间为[

kπ

2

，

kπ

2

+

π

4

]，k∈Z，
函数的单调递减区间为[

kπ

2

+

π

4

，

kπ

2

+

π

2

]，k∈Z，
当x∈[0，2π]时，f（x）∈[1，

2

]，
则函数的最大值

2

，最小值为1．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的表达式是解决本题的关键．