Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）=x²，如果函数g（x）=f（x）-（x+m）有两个零点，则实数m的值为（　　）

• A、2k（k∈Z）
• B、2k-

  1

  4

  （k∈Z）
• C、2K或2K+

  1

  4

• D、2K或2K-

  1

  4

  （k∈Z）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数零点的判定定理

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：求出f（x）是以2为最小正周期的函数，由函数f（x）为偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，则当-1≤x≤0时，f（x）=x²，作出函数y=f（x）和y=x+m的图象，通过图象观察，发现m为偶数时，图象有两个交点，当直线y=x+m与曲线相切，有两个零点，即可求出m的值．

解答： 解：f（x）满足f（x-1）=f（x+1），
则f（x+2）=f（x），
即有f（x）是以2为最小正周期的函数，
函数f（x）为偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，
则当-1≤x≤0时，f（x）=x²，
函数g（x）=f（x）-（x+m）的零点，即
方程g（x）=0的实根．
作出函数y=f（x）和y=x+m的图象，
通过图象观察，发现m为偶数时，图象有两个交点，
当直线y=x+m与曲线相切，有两个零点，
考虑0≤x≤1，设切点为（s，t），则由y′=2x，即有2s=1，解得s=

1

2

，切点为（

1

2

，

1

4

），
则m=

1

4

-

1

2

=-

1

4

，由f（x）可得当m=2k-

1

4

时，都有两个交点．
故m=2k或2k-

1

4

（k为整数），
故选D．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、周期性及应用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．