Question

已知tanα，tαnβ是方程x²-3x-3=0的两个根，求sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：利用韦达定理求出tanα+tαnβ，tanαtαnβ，推出tan（α+β），然后化简所求表达式为正切函数的形式，求解即可．

解答： 解：tanα，tαnβ是方程x²-3x-3=0的两个根，
∴tanα+tαnβ=3，tanαtαnβ=-3，
∴tan（α+β）=

tanα+tαnβ

1-tanαtαnβ

=

3

4

．
则sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）
=

sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)

sin2(α+β)+cos2(α+β)

=

tan2(α+β)-3tan(α+β)-3

tan2(α+β)+1

=

9 16 -3× 3 4 -3

9 16 +1

=-3．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，韦达定理的应用，考查计算能力．