题目内容
以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M，N两点，如果|MF|=|MO|，求椭圆的离心率．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：首先根据已知条件判断△MOF为等边三角形，进一步利用椭圆的焦距和焦半径，利用余弦定理求出MN的长度，进一步利用与椭圆的离心率公式求出结果．
解答：
解：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M，N两点，如果|MF|=|MO|，
所以：△MOF为等边三角形
∠OFM=60°
设OF=x，另一个焦点为N，
则：NF=2x，MF=x，
利用余弦定理：MN2=MF2+NF2-2MF•NFcos∠NFM
解得：MN=
x，
利用椭圆的定义：|MN|+|MF|=2a=x+
x，
所以椭圆的离心率为：
=
=
-1
所以：△MOF为等边三角形
∠OFM=60°
设OF=x，另一个焦点为N，
则：NF=2x，MF=x，
利用余弦定理：MN2=MF2+NF2-2MF•NFcos∠NFM
解得：MN=
| 3 |
利用椭圆的定义：|MN|+|MF|=2a=x+
| 3 |
所以椭圆的离心率为：
| 2c |
| 2a |
| 2x | ||
x+
|
| 3 |
点评：本题考查的知识要点：余弦定理的应用，椭圆的定义，及离心率的应用．属于基础题型．
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