题目内容
已知在△ABC中，已知向量
=（sinB，sinA-2sinC），
=（cosA-2cosC，cosB），且
⊥
．
（1）求
的值；
（2）若∠C=∠A+
，判断△ABC的形状．
| m |
| n |
| m |
| n |
（1）求
| sinC |
| sinA |
（2）若∠C=∠A+
| π |
| 3 |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）由向量和三角函数运算，变形可得；
（2）由（1）知sinC=2sinA，把C=A+
代入化简可得
sin（A-
）=0，可得A=
，C=
，可判为直角三角形．
（2）由（1）知sinC=2sinA，把C=A+
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）∵
=（sinB，sinA-2sinC），
=（cosA-2cosC，cosB），
∵
⊥
，∴
•
=sinB（cosA-2cosC）+（sinA-2sinC）cosB=0，
∴cosAsinB-2sinBcosC+sinAcosB-2cosBsinC=0，
∴cosAsinB+sinAcosB=2sinBcosC+2cosBsinC
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
∴
=2；
（2）由（1）知sinC=2sinA，又∠C=∠A+
，
∴sin（A+
）=2sinA，∴
sinA+
cosA=2sinA，
∴
sinA-
cosA=0，即
sin（A-
）=0，
∴A=
，∴C=A+
=
∴△ABC的形状为直角三角形．
| m |
| n |
∵
| m |
| n |
| m |
| n |
∴cosAsinB-2sinBcosC+sinAcosB-2cosBsinC=0，
∴cosAsinB+sinAcosB=2sinBcosC+2cosBsinC
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
∴
| sinC |
| sinA |
（2）由（1）知sinC=2sinA，又∠C=∠A+
| π |
| 3 |
∴sin（A+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴A=
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴△ABC的形状为直角三角形．
点评：本题考查解三角形，涉及向量的运算和三角形形状的判定，属中档题．
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