已知函数y=f(x).x∈D.如果对于定义域D内的任意实数x.对于给定的非零常数m.总存在非零常数T.恒有f成立.则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数.周期为T．若恒有f成立.则称函数f(x)是D上的m级类周期函数.周期为T．(1)试判断函数f(x)=log12(x-1)是否为上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由,=-x2+ax是[3.+∞)上的周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）试判断函数f(x)=log

(x-1)是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
（2）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围．

考点：函数的周期性,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用对数的运算法则，计算得到log_

[（x+1）-1]＞2log

（x-1），即 f（x+1）＞2f（x），从而得到函数f（x）是D上的2级类周期函数；（2）根据条件，得到相应的关系式，再进行参变量分离后，求出关于x的式子的最值，得到实数a的取值范围；（3）利用题目中周期为T的函数f（x）是D上的m级类周期函数定义，分别对函数进行研究，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵（x+1-1）-（x-1）²=-（x²-3x+1）＜0，即（x+1-1）＜（x-1）²
∴log_

[（x+1）-1]＞log

（x-1）²，即log_

[（x+1）-1]＞2log

（x-1），
即 f（x+1）＞2f（x）对一切x∈（3，+∞）恒成立，
故 f(x)=log

(x-1)是（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数．
（2）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），
即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-x²+ax）对一切[3，+∞）恒成立，
∴（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x≥3，
∴a＜

x2-2x-1

x-1

(x-1)2-2

x-1

=(x-1)-

x-1

，
令x-1=t，则t∈[2，+∞），g(t)=t-

在[2，+∞）上单调递增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（3）问题（Ⅰ）∵x∈[0，1）时，f（x）=2^x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，
当x∈[n，n+1）时，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n≥m^n-1•2^n-（n-1），
即m≥2．
问题（Ⅱ）：∵当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），
∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）=mf（x-4）=…=mⁿf（x-4n）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，
当0＜m≤1时，f（x）∈[-4，0]；
当-1＜m＜0时，f（x）∈[-4，-4m]；
当m=-1时，f（x）∈[-4，4]；
当m＞1时，f（x）∈（-∞，0]；
当m＜-1时，f（x）∈（-∞，+∞）；
综上可知：-1≤m＜0或0＜m≤1．

点评：本题考查了对数的运算法则、函数的代数思想、函数最值的求法、参变量分离的技巧，还考查了新定义问题，本题难度较大，属于难题．