题目内容
已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2
cos2x+
．
（1）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到偶函数g（x）的图象，求m的最小值；
（2）在区间[0，π]上，求满足f（x）≤2的x的取值集合M．
| 3 |
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（1）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到偶函数g（x）的图象，求m的最小值；
（2）在区间[0，π]上，求满足f（x）≤2的x的取值集合M．
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+
），再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，结合题意，可求得m的最小值；
（2）由f（x）≤2即可确定x的取值集合M．
| π |
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（2）由f（x）≤2即可确定x的取值集合M．
解答：
解：（1）∵f（x）=1+sin2x-
（1-cos2x）+
=1+2（
sin2x+
cos2x）
=2sin（2x+
），
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位
得到f（x+m）=2sin[2（x+m）+
]=2sin（2x+2m+
），
∵g（x）=f（x+m）=2sin（2x+2m+
）为偶函数，
∴2m+
=kπ+
，k∈Z，
∴m=
+
，k∈Z，
又m＞0，
∴mmin=
．
（2）∵x∈[0，π]
∴2x+
∈[
，2π+
]
∵f（x）=2sin（2x+
）≤2，
∴满足f（x）≤2的x的取值集合M={x|0＜x＜π}．
| 3 |
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=1+2（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位
得到f（x+m）=2sin[2（x+m）+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵g（x）=f（x+m）=2sin（2x+2m+
| π |
| 3 |
∴2m+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴m=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
又m＞0，
∴mmin=
| π |
| 12 |
（2）∵x∈[0，π]
∴2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
∴满足f（x）≤2的x的取值集合M={x|0＜x＜π}．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于基本知识的考查．
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