Question

已知函数f（x）=sin（x-

π

6

）+cosx（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）f（α）=-

1

3

，α∈（-

π

2

，0），求sinα的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角关系是的恒等变换，把函数关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用“（1）的结论，对关系式中的角进行恒等变换，进一步利用求出的结论确定结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（x-

π

6

）+cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+cosx
=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin(x+

π

6

)．
所以函数f（x）的最小正周期为2π．
（2）∵α∈(-

π

2

，0)
∴α+

π

6

∈(-

π

3

，

π

6

)
又f（α）=-

1

3

，
即：sin(α+

π

6

)=-

1

3

cos（α+

π

6

）=

2 2

3

sinα=sin[(α+

π

6

)-

π

6

]=sin(α+

π

6

)cos

π

6

-cos(α+

π

6

)sin

π

6

=-

3 +2 2

6

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期的求法，三角函数关系式中角的恒等变换，属于中等题型．