Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一部分如图所示：
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）的对称轴方程与对称中心
（4）求使y≤0的x取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由图易知A=2，T=

2π

ω

=π，可解得：ω=2，利用“五点法作图”知，

π

12

ω+φ=

π

2

，可求得φ，从而可得f（x）的表达式；
（2）利用正弦函数的单调性可求得f（x）的单调增区间；
（3）利用正弦函数的对称性，由2x+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z）可求得其对称轴方程，由2x+

π

3

=kπ（k∈Z）可求得其对称中心的坐标；
（4）利用正弦函数的图象与性质，由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ（k∈Z），即可求得使y≤0的x取值范围．

解答： 解：（1）由图可知，A=2，

3

4

T=

5π

6

-

π

12

=

3π

4

，故T=

2π

ω

=π，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又由“五点法作图”知，

π

12

ω+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）；
（3）由2x+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：其对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），
由2x+

π

3

=kπ（k∈Z）得：x=

kπ

2

-

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0）（k∈Z）；
（4）由2sin（2x+

π

3

）≤0，得：2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ（k∈Z），
解得：kπ-

4π

3

≤x≤kπ-

π

6

（k∈Z）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，综合考查正弦函数的单调性、对称性及图象与性质，属于中档题．