Question

已知不等式

x+2

x+1

＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

2

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：不等式

x+2

x+1

＜0的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=-2，b=-1，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

解答： 解：不等式

x+2

x+1

＜0的解集为{x|a＜x＜b}，∴a=-2，b=-1，
∵点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
∴

2

m

+

1

n

=（

2

m

+

1

n

）（2m+n）=5+

2n

m

+

2m

n

≥5+2

4

=9
当且仅当m=n=

1

3

时取等号，即

2

m

+

1

n

的最小值为9．
故答案为：9．

点评：本题考查了不等式的解法和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．