Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，且（2b-

3

c）cosA=

3

acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，cosB=

4

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简整理即可得到A；
（2）求得sinB，由正弦定理可得b，运用两角和的正弦公式，求出sinC，再由三角形的面积公式计算即可得到．

解答： 解：（1）（2b-

3

c）cosA=

3

acosC，
由正弦定理可得，（2sinB-

3

sinC）cosA=

3

sinAcosC，
2sinBcosA=

3

（sinCcosA+sinAcosC）=

3

sin（A+C），
2sinBcosA=

3

sinB，
cosA=

3

2

，（0＜A＜π），
则A=

π

6

；

（2）由cosB=

4

5

，则sinB=

1- 16 25

=

3

5

，
由正弦定理可得，b=

asinB

sinA

=

1× 3 5

1 2

=

6

5

，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

1

2

×

4

5

+

3

2

×

3

5

=

4+3 3

10

．
则三角形ABC的面积为S=

1

2

absinC
=

1

2

×1×

6

5

×

4+3 3

10

=

12+9 3

50

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查两角和的正弦该函数以及诱导公式，考查正弦定理以及面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．