Question

求y=

3

2

3

-

1

2

x+

9+x2

的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求导y′=-

1

2

+

x

x2+9

=

2x- x2+9

2 x2+9

；再令f（x）=2x-

9+x2

，从而求导f′（x）=2-

x

x2+9

=

2 x2+9 -x

x2+9

＞0；从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值．

解答： 解：∵y=

3

2

3

-

1

2

x+

9+x2

，
∴y′=-

1

2

+

x

x2+9

=

2x- x2+9

2 x2+9

；
令f（x）=2x-

9+x2

，
则f′（x）=2-

x

x2+9

=

2 x2+9 -x

x2+9

＞0；
故f（x）=2x-

9+x2

在R上是增函数，
令2x-

9+x2

=0得，x=

3

；
故当x∈（-∞，

3

）时，y′＜0；
当x∈（

3

，+∞）时，y′＞0；
故当x=

3

时，y=

3

2

3

-

1

2

x+

9+x2

取得最小值为
y_min=

3

2

3

-

1

2

3

+

9+3

=3

3

．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．