题目内容
已知数列{an}满足：an+1=
，a1=2，bn=
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求证：当n≥3时，b1+b2+…+bn＜
．
| an(an2+3) |
| 3an2+1 |
| an-1 |
| an+1 |
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求证：当n≥3时，b1+b2+…+bn＜
| 241 |
| 648 |
考点：数列与不等式的综合,数列递推式
专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,二项式定理
分析：（1）求出bn+1，因式分解，得到bn+1=bn3，两边取3为底的对数，得到等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到bn；
（2）运用二项式定理，得到当n≥3，3n-1=（1+2）n-1=
+…+
＞2n，再由指数函数的单调性，运用等比数列的求和公式，即可得证．
（2）运用二项式定理，得到当n≥3，3n-1=（1+2）n-1=
| C | 0 n-1 |
| +2C | 1 n-1 |
| 2n-1C | n-1 n-1 |
解答：
（1）解：由于an+1=
，bn=
，
则bn+1=
=
=（
）3=bn3，
由于b1=
=
，
则log3bn+1=log3bn3=3log3bn，
即有{log3bn}为等比数列，即有log3bn=log3
•3n-1，
即有bn=（
）3n-1；
（2）证明：当n≥3，3n-1=（1+2）n-1=
+…+
＞2n，
则bn=（
）3n-1＜（
）2n（n≥3），
故当n≥3时，b1+b2+…+bn＜
+
+（
）6+…+（
）2n
=
+
＜
+
=
．
即原不等式成立．
| an(an2+3) |
| 3an2+1 |
| an-1 |
| an+1 |
则bn+1=
| an+1-1 |
| an+1+1 |
| an3-3an2+3an-1 |
| an3+3an2+3an+1 |
| an-1 |
| an+1 |
由于b1=
| a1-1 |
| a1+1 |
| 1 |
| 3 |
则log3bn+1=log3bn3=3log3bn，
即有{log3bn}为等比数列，即有log3bn=log3
| 1 |
| 3 |
即有bn=（
| 1 |
| 3 |
（2）证明：当n≥3，3n-1=（1+2）n-1=
| C | 0 n-1 |
| +2C | 1 n-1 |
| 2n-1C | n-1 n-1 |
则bn=（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
故当n≥3时，b1+b2+…+bn＜
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 27 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=
| 10 |
| 27 |
| ||||
1-
|
| 10 |
| 27 |
| 1 |
| 648 |
| 241 |
| 648 |
即原不等式成立．
点评：本题考查数列通项公式的求法，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查二项式定理及其运用，属于中档题．
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函数y=
的值域是 （ ）
| x2-8x+15 |
| x2-x-6 |
| A、（-∞，1） | ||||
| B、（-∞，1）∪（1，+∞） | ||||
C、（-∞，-
| ||||
D、（-∞，-
|
一流的高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆才可打完十八洞．如图是甲、乙两位高尔夫选手在五次训练测试中打出的杆数的茎叶图，则发挥比较稳定的选手的方差为
如图所示，在直二面角α-l-β中，A，B∈l，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，|AC|=6，|AB|=8，|BD|=24，则线段CD的长是（ ）已知θ∈R时，不等式m2-（1+4sin2θ）m+4-6cos2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
| A、m≥4或m≤1 |
| B、m≥4或m≤-1 |
| C、m≥2或m≤1 |
| D、m≥2或m≤-1 |