Question

已知圆C：（x+1）²+y²=8及点D（1，0），E为圆上一点，DE的垂直平分线交CE于M，M点的轨迹记作曲线F，曲线F与x轴、y轴正半轴的交点分别为A，B．
（1）求曲线F的方程；
（2）设斜率为k的直线l经过点(0，

2

)，且与曲线F交于P，Q两点，是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线（O为坐标原点）？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意DE的垂直平分线交CE于M，运用垂直平分线的性质，可得CE|=|CM|+|ME|=|MC|+|MD|=2

2

＞|CD|，再由椭圆的定义，即可得到轨迹F的方程；
（2）由已知知直线的斜率必存在，设直线l的方程为：y=kx+

2

，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理，运用向量的坐标和共线定理，即可得到斜率k，再加以检验即可判断．

解答： 解：（1）由题意DE的垂直平分线交CE于M，
于是|CE|=|CM|+|ME|=|MC|+|MD|=2

2

＞|CD|，
所以点M的轨迹是以点C，D为焦点的椭圆，且a=

2

，c=1，所以b²=1，
故点的轨迹方程是：

x2

2

+y2=1；
（2）由已知知直线的斜率必存在，设直线l的方程为：y=kx+

2

，
将其代入椭圆方程，整理得，（

1

2

+k²）x²+2

2

kx+1=0①
直线l与椭圆有两个不同的交点P，Q，所以△=8k²-4（

1

2

+k²）=4k²-2＞0，
解得k＞

2

2

或k＜-

2

2

②
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），由①得，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

，又A（

2

，0），B（0，1），

AB

=（-

2

，1），
所以

OP

+

OQ

与

AB

共线等价为x₁+x₂=-

2

λ，y₁+y₂=λ，
即x₂+x₁=-

2

（y₁+y₂）=-

2

k（x₁+x₂）-4，
所以（1+

2

k）（x₁+x₂）=-4，
解得k=

2

2

不满足②，
所以满足条件的直线不存在．

点评：本题考查椭圆的定义、性质和方程，考查定义法求轨迹方程的方法，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用判别式大于0，韦达定理，平面向量的坐标运算和共线定理，考查运算能力，属于中档题．