Question

如图，底面是等腰梯形的四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=2CD，∠ABC=

π

3

．
（Ⅰ）设F为EA的中点，证明：DF∥平面EBC；
（Ⅱ）若AE=AB=2，求三棱锥B-CDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取EB的中点G，连接FG，CG，利用F为EA的中点，证明四边形CDFG为平行四边形，即可证明：DF∥平面EBC；
（Ⅱ）等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，求出点B到CD的距离，即可求三棱锥B-CDE的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取EB的中点G，连接FG，CG，
∵F为EA的中点，
∴FG∥AB，FG=

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2CD，
∴FG∥CD，FG=CD，
∴四边形CDFG为平行四边形，
∴DF∥CG，
∵DF?平面EBC，CG?平面EBC，
∴DF∥平面EBC；
（Ⅱ）解：等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，则BH=

1

2

，
在Rt△BHC中，∠ABC=60°，则CH=

1

2

tan60°=

3

2

，
即点C到AB的距离d=

3

2

，则点B到CD的距离为

3

2

，
∵EA⊥平面ACD，
∴三棱锥B-CDE的体积为V_E-BDC=

1

3

•

1

2

•1•

3

2

•2=

3

6

．

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．