Question

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=DE=1，CD=2，M为CE上的点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）当M为CE中点时，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知中矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面BEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，
因为BD²+BC²=CD²，所以BC⊥BD．
因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，1），F（1，0，1），M（0，1，

1

2

），
∴

BF

=（0，-1，1），

EF

（1，0，0），

BM

=（-1，0，

1

2

），
设

m

=（x，y，z）为平面BEF的一个法向量，则

-y+z=0 x=0

，
令y=1得

m

=（0，1，1）．
设直线BM与平面BEF所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

m

，

BM

＞|=

10

10

，
∴直线BM与平面BEF所成角的正弦值为

10

10

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角，熟练掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的关键．