Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，点M是SD的中点，AN⊥SC，交SC于点N．
（1）求证：平面SAC⊥平面AMN；
（2）求三棱锥S-ACM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用面面垂直的判定定理证明平面SAC⊥平面AMN．
（2）利用V_S-ACM=V_D-ACM=V_M-DAC，即可求三棱锥S-ACM的体积．

解答： （1）证明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，
∴DC⊥AM，
又∵SA=AD，M是SD的中点，
∴AM⊥SD，
∴AM⊥平面SDC
∴SC⊥AM．
由已知AN⊥SC，
∴SC⊥平面AMN．
又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．…（6分）
（2）解：∵M是SD的中点，∴V_S-ACM=V_D-ACM=V_M-DAC…（9分）
∴VS-ACM=

1

3

S△ACD•

1

2

SA=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

…（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、三棱锥S-ACM的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．