Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=

2

2

AB，
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）AA₁=2，求三棱锥C-A₁DE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明BC₁平行平面A₁CD内的直线DG，利用直线与平面平行的判定定理证明BC₁∥平面A₁CD
（2）证明CD⊥平面ABB₁A₁，DE⊥A₁D，即可求出三棱锥C-A₁DE的体积．

解答： （1）证明：连结AC₁交A₁C于点G，则F为AC₁的中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC₁∥DG，
因为DG?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：因为直棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以AA₁⊥CD，
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA₁∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB₁A₁，
设AB=2

2

，则AA₁=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=

2

，A₁D=

6

，DE=

3

，A₁E=3
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D，
所以V_C-A1DE=

1

3

×

1

2

×

6

×

3

×

2

=1．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．