Question

已知动圆C过点M（0，

3

），且与圆N：x²+(y+

3

)2=16相内切．
（1）求圆心C的轨迹方程；
（2）设点A（1，0），点B在抛物线：y=x²+h（h∈R）上，以点B为切点作这条抛物线的切线l．使直线l与（1）中圆心C的轨迹相交于E，F两点，若线段AB的中点与线段EF的中点横坐标相等，求h的最小值．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意，得CM+CN=4＞2

3

，圆心C的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且a=2，c=

3

，b=1，即可得出椭圆的方程．
（2）设出E，F，B的坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据△判断最值即可．

解答： 解：（1）由题意得CM+CN=4＞2

3

，
∴圆心C的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且a=2，c=

3

，b=1，
∴所求的椭圆方程为

y2

4

+x2=1；
（2）不妨设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），B（t，t²+h），
则抛物线C₂在点B处的切线斜率为y'|_x=t=2t，
直线EF的方程为y=2tx-t²+h，将上式代入椭圆C₁的方程中，
得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，
因为直线EF与椭圆C₁有两个不同的交点，
所以有△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0，
设线段EF的中点的横坐标是x₃，则x₃=

t(t2-h)

(1+t2)

，
设线段AB的中点的横坐标是x₄，则x₄=

t+1

2

，由题意得x₃=x₄，
即有t²+（1+h）t+1=0，
其中的△₂=（1+h）²-4≥0，∴h≥1或h≤-3；
当h≤-3时有h+2＜0，4-h²＜0，
因此不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0不成立；
因此h≥1，当h=1时代入方程t²+（1+h）t+1=0得t=-1，
将h=1，t=-1代入不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0成立，因此h的最小值为1．

点评：本题考查圆锥图象的综合利用，椭圆方程的应用，通过构造一元二次方程，利用根的判别式计算，属于中档题．