Question

已知f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函数，且f（2）=

5

3

．
（1）求实数p，q的值；
（2）证明函数f（x）在（-∞，-1）上是单调增函数，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知f（2）=

4p+2

6+q

=

5

3

，f（-2）=

4p+2

-6+q

=-

5

3

；从而解P，q；
（2）化简f（x）=

2

3

x2+1

x

；求导f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

）；从而证明函数的单调性，再由奇偶性判断函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函数，
∴f（2）=

4p+2

6+q

=

5

3

；
f（-2）=

4p+2

-6+q

=-

5

3

；
联立解得，p=2，q=0；
（2）证明：f（x）=

2

3

x2+1

x

；
f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

）；
∵x∈（-∞，-1），
∴1-

1

x2

＞0，
∴f′（x）＞0；
故函数f（x）在（-∞，-1）上是单调增函数；
再由f（x）是奇函数知，
f（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．