题目内容
已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，D为斜边AC中点．（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．
考点：直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）取AB中点E，连结SE，DE，由已知条件得△SAB为等腰三角形，从而得到SE⊥AB，进而得到AB⊥平面SDE由此能证明SD⊥平面ABC．
（2）法一：由已知条件得BD⊥AC，由（1）知，SD⊥面ABC，从而得到SD⊥BD，由此能证明BD⊥面SAC．
法二：由已知条件得BD⊥AC．由（1）知SD⊥平面ABC，从而得到平面ABC⊥平面SAC，由此能证明BD⊥平面SAC．
（2）法一：由已知条件得BD⊥AC，由（1）知，SD⊥面ABC，从而得到SD⊥BD，由此能证明BD⊥面SAC．
法二：由已知条件得BD⊥AC．由（1）知SD⊥平面ABC，从而得到平面ABC⊥平面SAC，由此能证明BD⊥平面SAC．
解答：
证明：（1）如图，取AB中点E，连结SE，DE，
在Rt△ABC中，D，E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，
∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SDE，∵SD?面SDE，∴AB⊥SD，
在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，
∴SD⊥AC，
∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，
∴SD⊥平面ABC．
（2）证法一：∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC，
由（1）可知，SD⊥面ABC，
而BD?面ABC，∴SD⊥BD，
∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，
∴BD⊥面SAC．
（2）证法二：∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC．
由（1）知SD⊥平面ABC，又SD?平面SAC，
∴平面ABC⊥平面SAC，
又平面ABC∩平面SAC=AC．
∴BD⊥平面SAC．
在Rt△ABC中，D，E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，
∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SDE，∵SD?面SDE，∴AB⊥SD，
在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，
∴SD⊥AC，
∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，
∴SD⊥平面ABC．
（2）证法一：∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC，
由（1）可知，SD⊥面ABC，
而BD?面ABC，∴SD⊥BD，
∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，
∴BD⊥面SAC．
（2）证法二：∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC．
由（1）知SD⊥平面ABC，又SD?平面SAC，
∴平面ABC⊥平面SAC，
又平面ABC∩平面SAC=AC．
∴BD⊥平面SAC．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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