Question

已知函数f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]．
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,复合三角函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求它的定义域和值域；
（2）利用复合函数单调性之间的关系，即可求它的单调区间；
（3）根据函数奇偶性的定义和性质即可判断它的奇偶性；
（4）根据函数周期性的定义即可判断它的周期性．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则

2

sin（x-

π

4

）＞0，
即sin（x-

π

4

）＞0，
即2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，k∈Z，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z
∴函数的定义域为（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．
∵0＜

2

sin（x-

π

4

）≤

2

，
∴f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]≥log 

1

2

2

=-

1

2

，
即函数f（x）的值域是[-

1

2

，+∞）．
（2）∵当2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

3π

4

时，函数t=

2

sin（x-

π

4

）为增函数，而y=log 

1

2

t为减函数，
∴根据复合函数的单调性可知，此时函数f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]单调递减．
∵当2kπ+

3π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

时，函数t=

2

sin（x-

π

4

）为减函数，而y=log 

1

2

t为减函数，
∴根据复合函数的单调性可知，此时函数f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]单调递增．
∴单调递增区间是（2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z），
单调递减区间是（2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

）（k∈Z）．
（3）因为f（x）定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，
故f（x）是非奇非偶函数．
（4）∵f（x+2π）=log 

1

2

[

2

sin（x+2π-

π

4

）]=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]=f（x），
∴函数f（x）的最小正周期T=2π．

点评：本题主要考查函数的性质的综合判断，要求熟练掌握函数单调性，奇偶性，周期性以及定义域，值域的求解和判断．