Question

已知点F₁，F₂在曲线C：

x=cosβ y=sinβ

（β为参数）上，对应参数β分别为π和2π，动点M（x，y）到点F₁，F₂的距离之和为4．
（Ⅰ）求M的轨迹方程；
（Ⅱ）求M到直线

x

4

+

y

2

=1的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由题意可得，点F₁（-1，0）、F₂（1，0），由于动点M（x，y）到点F₁，F₂的距离之和为4，再根据椭圆的定义、性质、标准方程求得M的轨迹方程．
（Ⅱ）设M（2cosα，

3

sinα），α为参数，则点M到直线

x

4

+

y

2

=1的距离为d=

4|sin(α+ π 6 )|

5

，可得d_min，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，点F₁（-1，0）、F₂（1，0），由于动点M（x，y）到点F₁，F₂的距离之和为4，
故点M的轨迹为以点F₁，F₂为焦点的椭圆，故有c=1，且2a=4，∴a=2，∴b²=a²-c²=3，
求M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（2cosα，

3

sinα），α为参数，则点M到直线

x

4

+

y

2

=1的距离为
d=

| 1 2 cosα+ 3 2 sinα|

1 16 + 1 4

=

4|sin(α+ π 6 )|

5

，∴d_min=0，即 M到直线

x

4

+

y

2

=1的最小值为0．

点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，椭圆的定义、性质、以及标准方程，点到直线的距离公式，正弦函数的值域，属于基础题．