Question

如图，在四面体ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
（1）求证：AB⊥平面CDE；
（2）设G为△ADC的重心，F是线段AE上一点，且AF=2FE．求证：FG∥平面CDE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证出直线AB与平面上的两条相交直线垂直，可得到线面垂直；
（2）取DC的中点H，连AH、EH，根据G为△ADC的重心，得到G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH，再说明线在平面上，得到结论．

解答： 证明：（1）∵BC=AC，E为AB的中点，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E为AB的中点
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE；
（2）取DC的中点H，连AH、EH
∵G为△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．