已知二次函数f(x)=$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x．数列{an}的前n项和为Sn.点(n.Sn)(n∈N*)在二次函数y=f(x)的图象上．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,(Ⅱ)设bn=anan+1cos[(n+1)π](n∈N*).数列{bn}的前n项和为Tn.若Tn≥tn2对n∈N*恒成立.求实数t的取值范围,(Ⅲ)在数列{an}中是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知二次函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x．数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）在二次函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_na_n+1cos[（n+1）π]（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）在数列{a_n}中是否存在这样一些项：${a}_{{n}_{1}}$，${a}_{{n}_{2}}$，a${\;}_{{n}_{3}}$，…，a${\;}_{{n}_{k}}$这些项都能够构成以a₁为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a${\;}_{{n}_{k}}$}？若存在，写出n_k关于k的表达式；若不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）先求出s_n，通过讨论n的范围，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过讨论n的奇偶性，从而求出T_n的表达式，问题转化为使-$\frac{1}{9}$（2n²+6n）≥tn²（n为正偶数）恒成立即可；
（Ⅲ）通过讨论公比的奇偶性，从而得到答案．

解答解：（Ⅰ）由题意可知，S_n=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n，（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-[$\frac{1}{3}$（n-1）²+$\frac{2}{3}$（n-1）]=$\frac{2n+1}{3}$；
当n=1时，a₁=S₁=1适合上式．
数列{a_n}的通项公式为$\frac{2n+1}{3}$（n∈N^*）；
（Ⅱ）∵b_n=a_na_n+1cos[（n+1）π]=（-1）^n-1a_na_n+1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1．
由（Ⅰ）可知，数列{a_n}是以1为首项，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列．
①当n=2m（m∈N^*）时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-$\frac{4}{3}$（a₂+a₄+…+a_2m）
=-$\frac{4}{3}$×$\frac{{a}_{2}+{a}_{2m}}{2}$×m=-$\frac{1}{9}$（8m²+12m）=-$\frac{1}{9}$（2n²+6n）
②当n=2m-1（m∈N^*）时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1
=-$\frac{1}{9}$（8m²+12m）+$\frac{1}{9}$（16m²+16m+3）
=$\frac{1}{9}$（8m²+4m+3）
=$\frac{1}{9}$（2n²+6n+7），
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{9}（2{n}^{2}+6n），n为偶数}\\{\frac{1}{9}（2{n}^{2}+6n+7），n为奇数}\end{array}\right.$
要使T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，只要使-$\frac{1}{9}$（2n²+6n）≥tn²（n为正偶数）恒成立，
即使-$\frac{1}{9}$（2+$\frac{6}{n}$）≥t对n为正偶数恒成立．
∴t≤-$\frac{5}{9}$．
故实数t的取值范围是（-∞，-$\frac{5}{9}$]；
（Ⅲ）由a_n=$\frac{2n+1}{3}$知数列{a_n}中每一项都不可能是偶数．
①如存在以a₁为首项，公比q为2或4的数列{${a}_{{n}_{k}}$}（k∈N^*），
此时{${a}_{{n}_{k}}$}中每一项除第一项外都是偶数，
故不存在以a₁为首项，公比为偶数的数列{${a}_{{n}_{k}}$}；
②当q=1时，显然不存在这样的数列{{${a}_{{n}_{k}}$}；当q=3时，
若存在以a₁为首项，公比为3的数列{${a}_{{n}_{k}}$}（k∈N^*），则${a}_{{n}_{1}}$=1，（n₁=1），
${a}_{{n}_{k}}$=3^k-1=$\frac{2{n}_{k}+1}{3}$，n_k=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$，
即存在满足条件的数列{${a}_{{n}_{k}}$}，且n_k═$\frac{{3}^{k}-1}{2}$，（k∈N^*）．