Question

14．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B为正方形，BB₁C₁C为菱形，B₁C⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若D是CC₁中点，∠ADB是二面角A-CC₁-B的平面角，求直线AC₁与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC₁，可得B₁C⊥面ABC₁．B₁C⊥AB．
由AB⊥BB₁，得AB⊥面BB₁C₁C．可得平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）由∠ADB是二面角A-CC₁-B的平面角，得△C₁BC为等边三角形．
 分别以BA，BB₁，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AB=2，则A（2，0，0），${C_1}（0，1，\sqrt{3}）$，$C（0，-1，-\sqrt{3}）$．利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接BC₁，因为BB₁C₁C为菱形，
所以B₁C⊥BC₁，又B₁C⊥AC₁，AC₁∩BC₁=C₁，
所以B₁C⊥面ABC₁．故B₁C⊥AB．
因为AB⊥BB₁，且BB₁∩BC₁，所以AB⊥面BB₁C₁C．
而AB?平面ABB₁A₁，所以平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）因为∠ADB是二面角A-CC₁-B的平面角，
所以BD⊥CC₁，又D是CC₁中点，
所以BD=BC₁，所以△C₁BC为等边三角形．
如图所示，分别以BA，BB₁，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AB=2，则A（2，0，0），${C_1}（0，1，\sqrt{3}）$，$C（0，-1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（-2，1，\sqrt{3}$）．
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面ABC的一个法向量，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2x=0}\\{-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，
取z=1得$\overrightarrow n=（0，\sqrt{3}，1）$．
所以$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{A{C_1}}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{A{C_1}}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{A{C_1}}}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+1}\sqrt{4+1+3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
所以直线AC₁与平面ABC所成的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{4}$．

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求线面角、面面角，属于中档题．