Question

9．在封闭直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA₁=5，则V的最大值是（　　）

• A． $\frac{9π}{2}$
• B． $\frac{125π}{6}$
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． 36π

Answer 1

分析 要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁内切球半径即可

解答 解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．
Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为$\frac{5}{2}$．
此时球的体积为$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{125}{6}π$，
故选：B．

点评 本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球何时半径最大，属于基础题．