Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，两焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆C于M、N两点，且△MF₂N的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若|MN|=$\frac{8}{5}$，求△MF₂N的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty-$\sqrt{3}$，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由弦长求得t值，然后代入三角形面积公式求得△MF₂N的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，4a=8，∴a=2，c=$\sqrt{3}$．
又b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty-$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（{t}^{2}+4）{y}^{2}-2\sqrt{3}ty-1=0$．
设M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{t}^{2}+4}$，
|MN|=$\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{1+{t}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{t}^{2}}\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{4}{{t}^{2}+4}}$=$\frac{8}{5}$，解得：t²=1．
∴${S}_{△M{F}_{2}N}$=$\frac{1}{2}•2c•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{3}•$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{3}•\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{4}{{t}^{2}+4}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{12}{25}+\frac{4}{5}}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用，是中档题．