Question

16．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点都在球O的球面上，AB=2，AA₁=4，则球面O的表面积为（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． 32π
• C． 64π
• D． $\frac{64π}{3}$

Answer 1

分析 根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，求出O'A，由球的截面的性质，求得半径OA，再由球面O的表面积公式，计算即可得到．

解答 解：根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为2，
球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，
则O'A=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由球的截面的性质，可得，OA²=OO'²+O'A²，
则有OA=$\sqrt{4+\frac{4}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
则球面O的表面积为4π•OA²=$\frac{64π}{3}$
故选D．

点评 本题考查球的截面的性质，考查球与正三棱柱的关系，考查球的表面积运算，属于中档题．